PROGRAM LINEAR

Sejarah Program Linear

Model program linier dikembangkan dalam tiga tahap, anatara lain pada tahun 1939-1947. Pertama kali dikembangkan oleh Leonid Vitaliyevich Kantorovich, ahli matematika Rusia yang memperoleh Soviet government’s Leinin Prize pada tahun 1965 dan the Order of Lenin pada tahun 1967; kedua, oleh Tjalillng Charles Koopmans, ahli ekonomi dari belanda yang memulai karir intelektualnya sebagai fisikawan yang melontarkan teori Kuantum mekanik; dank e-3, George Bernard Dantzig yang mengembangkan Algoritma Simpleks. 

Pada tahun 1930, Kantorovich dihadapkan pada kasus nyata optimisasi sumber-sumber yang tersedia di pabrik. Dia mengembangkan sebuah analisis baru  yang nantinya akan dinamakan Pemrograman Linear. Kemudian pada tahun 1939, Kantorovich menulis buku “The Mathematical Method of Production Planning and Organization”, di mana Kantorovich menunjukkan bahwa seluruh masalah ekonomi dapat dilihat sebagai usaha untuk memaksimumkan suatu fungsi terhadap kendala-kendala. Kuliah Kantotovich pada saat menerima hadiah Nobel, 11 desember 1975 adalah Mathematics in Economic Achievements, Difficulties, Perspectives. Di sisi ain, Koopmans sejak awal sudah bergelut dengan matematika ekonomi dan ekonometri. Dia mengembangkan teknik activity analiysis yang sekarang dikenal dengan Pemrograman linear. Namun demikian, juga ada nama-nama lain yang berperan dalam pengembangan model ini, yaitu J. Von Neuman. Bahkan dia mengembangkan “Activity analiysis of production set” sebelum dilanjutkan oleh Koopmans. Pada saat itu, teknik yang mereka kembangkan dikenal dengan istilah “programming of interdependent activities in a linier structure”. Istilah programan linier diusulkan oleh Koopmans ketika mengunjungi Dantzig di RAND Corporation pada tahun 1948. Istilah ini menjadi popular hingga sekarang.

A.    Pengertian Program Linear

Program linier adalah merumuskan masalah dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia kemudian menerjemahkan masalah tersebut dalam bentuk model matematika. Sifat linier mempunyai arti bahwa seluruh fiungsi dalam model ini merupakan fungsi yang linier.

Program linier (linear programming) adalah merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka atau terbatas untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Sumber daya tersebut dapat berupa sumber daya fisik seperti uang, tenaga ahli, material (bahan dan mesin) ataupun bukan fisik.

Pemrograman linier berasal dari kata pemrograman dan linier. Pemrograman disini mempunyai arti kata perencanaan, dan linier ini berarti bahwa fungsi-fungsi yang digunakan merupakan fungsi linier. Secara umum arti dari pemrograman linier adalah suatu teknik perencanaan yang bersifat analisis yang analisis-analisisnya memakai model matematika, dengan tujuan menemukan beberapa kombinasi alternatif pemecahan masalah kemudian dipilih yang terbaik di antaranya dalam rangka menyusun strategi dan langkah-langkah kebijaksanaan lebih lanjut tentang alokasi sumber daya dan dana yang terbatas guna mencapai tujuan dan sasaran yang di inginkan secara optimal.

B.   Bentuk Umum Program Linear

Bentuk umum linear programming adalah sebagai berikut:

Fungsi tujuan :

Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

Sumber daya yang membatasi :

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2

…

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm

x1, x2, …, xn ≥ 0

Simbol x1, x2, ..., xn  (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan (xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir  (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.

C.       Cara Penyelesaian Program Linear Dengan Metode Grafik

1)        Langkah Penyelesaian Metode Grafik

Ada beberapa langkah penyelesaian diantaranya sebagai berikut:

a)    Buat model yang sesuai dengan masalah yang ada.

b)   Gambar grafik kendala-kendalanya.

c)    Tentukan daerah fisibel, yaitu daerah dalam grafik yang memenuhi semua kendala.

d)   Hitung nilai fungsi di titik-titik sudut segi-n daerah fisibel.

e)    Cari titik yang menghasilkan nilai fungsi yang paling optimal

2)      Kasus dan Penyelesaian Dalam Metode Grafik

Contoh :

Seorang pengusaha Laptop membuat dua macam tipe, yaitu tipe portable touchscreen (A1) dan tipe flip standar (A2). Kedua jenis laptop dibuat dari bahan yang sama yaitu X dan Y, dengan komposisi yang berbeda.

Setiap tipe laptop portable touchscreen dibuat dari campuran 1 unit bahan X dan 3 bahan Y, sedangkan setiap tipe laptop flip standar dibuat dari campuran 2 unit bahan X dan 1 unit bahan Y. Karena keterbatasan pasokan, setiap hari ia hanya memperoleh 20 unit bahan X dan 20 unit  bahan Y.

Untuk setiap laptop tipe portable touchscreen yang ia buat, ia memperoleh keuntungan sebesar 300.000. Untuk setiap laptop tipe flip standar, ia memperoleh keuntungan sebesar 200.000.

Jika diasumsikan bahwa semua laptop laku terjual, berapa laptop masing-masing tipe harus ia buat agar keuntungan yang didapatkan maksimum?

Penyelesaian:

Bahan	Laptop tipe portabletouchscreen (A1)	Laptop tipe flip standar (A2)	Pasokan Maksimum
X	1	2	20
Y	3	1	20
Untung	300.000	200.000

Maksimumkan, f(x1, x2) = 300.000 x1 + 200.000 x2 è 3 x1 + 2 x2 (dalam ratusan ribu)

Kendala :

x1 + 2 x2 ≤ 20

3 x1 + x2 ≤ 20

x1, x2 ≥ 0

Penggambaran kendala x1 + 2 x2 ≤ 20, 3 x1 + x2 ≤ 20 dan x1, x2 ≥ 0

Metode Grafik

Kasus 1.1

Perpotongan bidang yang memenuhi semua kendala disebut daerah fisibel. Daerah fisibel dalam kasus ini disebut daerah fisibel AEDO (bagian yang diarsir pada bagian perpotongan bidang AOB dan bidang COD).

Koordinat E dapat dicari dari perpotongan x1 + 2 x2 ≤ 20 dan 3 x1 + x2 ≤ 20 sehingga diperoleh E(4,8).

Titik-titik sudut daerah fisibel dapat melihat keuntungan maksimum yang ingin dicapai pengusaha:

Titik-titik sudut daerah fisibel	Nilai fungsi , f(x1, x2) = 3 x1 + 2 x2 3 x1 + 2 x2 (dalam ratusan ribu)
O (0,0)	3(0) + 2(0) = 0
A (0,10)	3(0) + 2 (10) = 20
E (4,8)	3(4) + 2(8) = 12 + 16 = 28
D (20/3,0)	3(20/3) + 2(0) = 20

D.       Cara Penyelesaian Program Linear Dengan Metode Aljabar

Pemecahan persoalan PL dengan metode aljabar adalah pemecahan persoalan dengan cara substitusi antarpersamaan linear pada fungsi pembatas dan fungsi tujuan.

Prinsip yang digunakan ialah mencari seluruh kemungkinan pemecahan dasar feasible (layak), kemudian pilih salah satu yang memberikan nilai objektif optimal, yaitu paling besar (maksimum) atau paling kecil (minimum).

Pemecahan persoalan Program Linear dengan metode aljabar ini dibagi 3 (tiga) kasus, yaitu:

a.    Kasus Maksimisasi.

kasus pemecahan persoalan PL yang bertujuan mencari seluruh kemungkinan pemecahan yang memberikan nilai objektif maksimum.

Langkah-langkah penyelesaian

1)  Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan menambah slack variabel

2)  Merubah fungsi tujuan dengan menambah slack variabel bernilai nol

3)  Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan

Contoh-1 : Perusahaan konveksi “Maju” akan memproduksi baju dan celana, dengan:

Fungsi Tujuan:

Maksimumkan Z = 8 X1 + 6 X2 (dalam Rp 1.000).

Fungsi Pembatas :

•      P-Bahan    : 4 X1 + 2 X1 ≤ 60

•      Penjahitan : 2 X1 + 4 X2 ≤ 48 X1, X2 ≥ 0

b.    Kasus Minimasi

Kasus pemecahan masalah program linear yang bertujuan seluruh kemungkinan pemecahan yang memberikan nilai objektif minimum.

Langkah-langkah Penyelesaian

1)  Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan mengurangi dengan surplus variabel (S).

2)  Merubah fungsi tujuan dengan menambah surplus variabel bernilai nol.

3)  Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan.

CONTOH:

Seorang petani modern menghadapi suatu persoalan sebagai berikut: Setiap sapi peliharaan agar supaya sehat harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit: 27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A, B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan M1 dan M2 diberikan kepada sapi peliharaan tersebut. Satu gram makanan jenis M1 mengandung unsur nutrisi jenis A, B, dan C masing-masing sebesar 3, 1, dan 1 satuan. Sedangkan satu gram makanan jenis M2 mengandung unsur nutrisi jenis A,B, dan C masing-masing 1,1, dan 2 satuan. Harga satu gram M1 dan M2 masing-masing sebesar Rp40.000 dan Rp20.000.- Petani tersebut harus memutuskan apakah membeli satu jenis makanan saja atau kedua-duanya kemudian mencampurnya. Tujuan adalah agar jumlah pengeluaran petani tersebut minimum.

c.    Kasus-kasus khusus

Beberapa kasus khusus selain kasus maksimisasi dan minimisasi adalah kasus solusi optimum ganda dan tidak memiliki solusi yang layak.

LANGKAH-LANGKAH PENYELESAIAN

1)  Merubah ketidaksamaan fungsi pembatas menjadi kesamaan dengan menambah slack variabel

2)  Merubah fungsi tujuan dengan menambah slack variabel bernilai nol

3)  Substitusikan fungsi pembatas dan fungsi tujuan

Contoh :

1)     Solusi Optimum Ganda

a)     Fungsi Tujuan :

Maksimumkan Z = 4X1 + 4X2

b)     Fungsi Pembatas :

X1 + 2X2 ≤ 10

X1 + 6X2    ≤ 36

X1            ≤ 4

X1, X2      ≥ 0

2)     Tidak Memiliki Solusi Layak

a)     Fungsi Tujuan :

Maksimumkan Z = 5X1 + 3X2

b)     Fungsi Pembatas :

4X1 + 2X2 ≤ 8

X1 ≥ 3

X2 ≥ 7

X1, X2 ≥ 0

E.       Cara Penyelesaian Program Linear Dengan Metode Simplex

Metode Simpleks: metode pemecahan persoalan program linear yang begitu kompleks dan luas, dan besar dengan metode aljabar (sederhana) dan grafik sulit dan tidak dapat diandalkan

Ciri khas metode simpleks ialah dengan memasukkan kegiatan disposal (disposal activities). Peranan kegiatan disposal ini adalah untuk menampung sumber daya yang tersisa atau tidak digunakan. Dengan adanya kegiatan disposal ini kita dapat membuat ketidaksamaan suatu rumusan matetematika menjadi suatu persamaan.

Metode simpleks hanya diperkenankan nilai positif dari peubah-peubah Xij.

1.  Rumuskan persoalan PL ke dalam model umum PL (fungsi tujuan dan fungsi pembatas).

2.  Merubah model umum PL menjadi model simpleks:

a.  Fungsi Pembatas: tambahkan slack variabel dan/atau surplus variabel, dan/atau variabel buatan (artifisial var).

b.  Fungsi tujuan :

Rubahlah bentuk fungsi tujuan implisit menjadi persamaan bentuk eksplisit.Tambahkan/kurangi dengan slack var, surplus var dan/atau variabel buatan yang bernilai nol.

3. Formulasikan ke dalam Tabel Simpleks.

4. Lakukan langkah-langkah penyelesaian.

Langkah Penyelesaian

Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan

Langkah 2: Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel

Langkah 3: Memilih kolom kunci

Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah table simpleks. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

Langkah 4: Memilih baris kunci

Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel simpleks, dengan cara mencari indeks tiap-tiap baris dengan membagi nilai-nilai pada kolom NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci.

Pilih baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Beri tanda segi empat pada baris kunci. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga masuk dalam baris kunci disebut angka kunci.

Langkah 5: Mengubah nilai-nilai baris kunci.

Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci

Langkah 6: Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci

Langkah 7: Melanjutkan perbaikan

Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke-6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai negatif.