Bilangan Baris dan Deret

POLA BILANGAN DAN DERET

A.    Defenisi Pola Bilangan Barisan dan Deret

·           Pola bilangan adalah barisan bilangan yang mempunyai pola dengan beda(b) atau rasio (r) tetap seperti barisan aritmatika dan geometri, tetapi pola bilangan dapat juga beda atau rasionya tidak tetap tetapi berpola.

·           Barisan adalah suatu bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu.Suatu  barisan bilangan adalah suatu  fungsi yang mempunyai domain (daerah asal) himpunan bilangan-bilangan asli berurutan mulai dari 1. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku.Perubahan di antara suku-suku  berurutan ditentutkan oleh ketambahan bilangan tertentu atas suatu kelipatan bilangan tertentu.

·           Deret adalah jumlah dari  bilangan dalam suatu barisan.

B.     Macam-macam Pola Bilangan

1.    Pola penambahan dan pengurangan

Contoh : barisan aritmatika

2.    Pola perkalian

Contoh : deret aritmatika

3.    Pola perpangkatan

Contoh : barisan persegi    1²,2²,3²,4²,...n²   (perpangkatan 2 terhadap bilangan asli)

C.    BarisandanDeretAritmatika

a.   BarisanAritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap suku-sukunya  berurutan dan mempunyai selisih (beda) yang tetap(konstan). Suatu barisan : U1,U2,U3,... Un disebut barisan aritmatika jika berlaku U₂-U₁ = U₃-U₂ = U_n- U_n-1 .

Ciri-ciribarisanaritmatika :

-    Merupakan urutan bilangan yang teratur

-    Mempunyai beda / selisih yang sama

-    Tidak diserta tanda operasi bilangan seperti penjumlahan dan pengurangan.

Misalnya :    2,5,8,11,14,… ditambah 3 dari suku didepannya.

100,95,90,85,..dikurangi 5 dari suku sebelumnya

Rumusbarisanaritmatika :

b = u_n – u_n-1                                       a = sukuawal

U_n = a +(n-1)b                         b = beda (selisihantarsuku)

U_t =   (a + U_n)                                    U_n   = sukuke-n

n     = banyaknyasuku

U_t = sukutengah

U_n-1 = sukuke-n dikurangi 1

Contohsoal :

Jumlah suku  ke-10 dari barisan :3,5,7,9,.. adalah…

Jawaban :

a =3

b =u_n – u_n-1                b = U₂-U₁

b = 5-3

=2

U_n = a +(n-1)b      U₁₀ = (3 + 9.2)

U₁₀= 3 + 18

=21

b.   DeretAritmatika

Deret aritmatika adalah jumlah keseluruhan dari anggota barisan aritmatika yang dihitung secara berurutan. Ciri-ciri deret aritmatika:

-    Bilangan teratur

-    Mempunyai beda yang sama

-    Disertai tanda operasi bilangan penjumlahan atau pengurangan

Misalnya : 1 + 3 +5 + 7 + 9 +…(memilikibeda 2)

 +   +  +  + …(memiliki beda 0,25)

Rumus deret aritmatika :

S_n = (a + U_n)  S_{n =} jumlah sukuke-n

U_n = a + (n-1)b                                    U_n = Sukuke-n

b = U_n – U_n-1                                    b = beda (selisih)

Contohsoal :

Jumlah bilangan ganjil 5+7+9+…+45 =…

Jawaban :

            a= 5

b=2             b = U_n – U_n-1

=U₂-U₁

=7-5

=2

U_n = a + (n-1)b             45   =5+(n-1)2

45   = 5 +(2n-2)

45     =3+2n

45-3=2n

42/2=n

21=n

S_n = (a + U_n)               S₂₁= (5+45)

=

 525

D.    BarisandanderetGeometri

a.      BarisanGeometri

Disebut dengan barisan geometri Jika rasio antar suku apa saja dalam  suatu barisan dengan suku sebelumnya merupakan suatu bilangan tetap.

Ciri-ciri barisan geometri:

-       Merupakan kelipatan bilangan yang teratur

-       Mempunyai rasio (pembagi) yang sama

-       Tidakdisertai tanda penjumlahan dan pengurangan

Misalnya :  3,6,12,24,48,96,…

 +   +  +  +   +,…

Rumus barisan geometri:

U_n =ar^n-1                                                              U_n = sukuke-n

r   = rasio

r= atau       r =    a   = Sukupertama

Contohsoal:

Diketahui barisan geometri 2,4,8,16,32,…carilah :

a.       Tentukan nilai r

b.      Suku ke10 (U₁₀)

Penyelesaian:

a.       a = 2                                                      b.  U_n =ar^n-1

r= =  = 2                               U₁₀=2.2^10-1

=2.2⁹

=2.512

=1024

b.      DeretGeometri

Yaitu jumlah dari barisan geometri.

Ciri-ciri deret geometri:

-       Merupakan penjumlan atau pengurangan dari barisan  geometri.

-       Mempunyai rasio atau pembanding yang sama.

Misalnya : 3+6+12+24+48+96+…

5+10+20+40+80+…

Rumus barisan geometri:

Sn =         jika r > 1                      Sn = jumlah suku ke-n

Sn =         jika r < 1

Contohsoal:

Carilah jumlah sampai dengan suku ke-8 yang pertama dari barisan geometri 3,6,12,24,…

Penyelesaian :  a=3

r= =  =  = 2

karena r > 1, gunakan rumus :

Sn = =S₈=

=

=3(256-1)

=3(255)

=765

Turunan

Materi turunan dalam Matematika memiliki sub bab mengenai persamaan garis singgung suatu kurva, maka materi ini pasti akan teman-teman temui jika sedang mengulas mengenai turunan. Agar teman-teman lebih paham mengenai cara mencari  persamaan garis singgung kurva mari kita simak penjelasan berikut ini.

Sebelum  kita belajar kemateri inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradient garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

• Gradian garis untuk persamaan y = mx + c adalah m
• Gradient garis untuk persamaan ax + by = c, maka m = -a/b
• Gradient garis jika diketahui dua titik, misal ( x1 , y1 ) dan  ( x2 , y2 ) maka untuk mencari gradient garisnya  m = ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 )

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

• Jika saling sejajar maka m1 = m2
• Jika saling tegak lurus maka m1.m2 = -1 atau m1 = -1/(m2)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradient garis singgung tersebut bias dinyatakan dengan m =  f ' ( x1 ). Sementara itu  x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan  y – y1 = m(x – x1).

Jadi inti nyajikan kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya  m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan y-y1=m(x-x1)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

 

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?

Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 7x² + 20  dititik  yang berabsis 2 ?

Jawab :
x = 2
y = x⁴ – 7x² + 20 = y = 2⁴ – 7.2² + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x³ – 14 x = 4.2³ – 14.2 = 32 – 28 = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat18 ?

Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x³ + 10 = 18
x³ = 8
x = 2

m = y’ = 3x² = 3.2² = 12

Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 5x² + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :
ordinat = 6
x⁴ – 5x² + 10 = 6
x⁴ – 5x² + 4 = 0
(x² – 1)(x² – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

untuk x = -1
m = 4x³ – 10x = -4 + 10 = 6
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12

Untuk x = 1
m = 4x³ – 10x = 4 – 10 = -6
y – y₁ = m(x – x₁)
y –  6 = -6(x – 1)
y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12

Untuk x = -2
m = 4x³ – 10x = 4(-2)³ – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18

Untuk x = 2
m = 4x³ – 10x = 4.2³ – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18

Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12,   y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan              y = 12x – 18

6. Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x⁴ – 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab :
y = 3x⁴ – 20y’ = 12x³

Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah
y = 12x + 8
maka gradient garis ini adalah m₁ = 12
Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradient garis singgung (m₂) adalah
m₂ = m₁ = 12

gradient garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga
y’ = 12
12x³ = 12
x³ = 1
x = 1
maka y = 3x⁴ – 20 = 3 – 20 = – 17

Persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 17 = 12(x – 1)
y + 17 = 12x – 12
y = 12x – 29

7. Garis yang menyinggung kurva y = 12  – x⁴  dan tegak lurus dengan x – 32y = 48 mempunyai persamaan ….

Jawab :
y = 12  – x⁴
y’ = – 4x³

Sedangkan
x – 32y = 48
32y = x – 48

Garis ini memiliki gradien m1 = 1/32
Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini maka

m₁.m₂ = -1
(1/32) m2 =-1
m₂= -32
m₂ ini adalah gradient garis singgung, sehingga sama dengan turunan
y’ = -32
– 4x³ = -32
x³ = 8
x = 2
y = 12  – x⁴ = 12-2⁴ = -4
maka persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y + 4 = -32(x – 2)
y + 4 = -32x + 64
y = -32x + 60